分形的奥秘：一款用数学进行艺术创作的奇妙App | 教育科技

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当我们跟学生讨论数学之美的时候，我们往往会聊到分形几何，很多科普的内容会提到在自然界中分形的普遍存在，比如分形的叶子和宝塔菜花：

（上：蕨类植物叶子；下：宝塔菜花，via 科普中国）

分形就像是数学中和谐之美的象征，自1975年分形几何学被提出以来，它一直吸引着一代代数学家的探索和研究。分形几何中局部和整体自我相似，一个世界嵌套另一个世界，无穷无尽。

但如果讨论只到此为止，难免留下很多遗憾。学生刚刚感受到自然界中的数学之美，而这扇门马上就被关上了——这个知识超纲了，学生甚至没有机会去了解这些图像跟数学究竟有什么联系。而实际上，教学大纲这扇门并非紧锁的，学生只要在高中的基础数学知识上进一步探索，就能够自主学习和理解分形几何。

什么是分形几何？我们可以从“科赫雪花”开始：

科赫雪花中，一个三角形的边嵌套另一个三角形，如果我们把它的一个局部放大，就像这样：

这就是最简单的一个分形结构。

今天我们要介绍的App：“分形的奥秘：朱利亚集合”。它将引导学生在感受数学之美的道路上继续前行，带领学生探索另一种逃逸时间分形结构：朱利亚集合（Julia set）。

这是一个朱利亚集分形的典型图像：

看上去好像很复杂？其实只要学到高中数学“数系的扩充与复数的引入”就可以很好理解。如果忘了，或者没学到也不要紧，在“分形的奥秘”中会深入介绍这一方面的知识。

“分形的奥秘：朱利亚集合”主体内容分为开始和创作两部分。开始部分由“概览”、“原理”和“丰富的变化”三个部分组成，由浅及深层层推进，把你引入分形的世界。

概览部分介绍分形的基本概念，我们发现看似复杂的朱利亚集合竟然是由一个非常简单的公式迭代出来的：

Zn+1=Zn²+C

在“原理”部分，进一步介绍复数Zn和Zn+1的迭代过程。

并通过分析函数收敛或发散趋势，用颜色表示函数性质作图，这样就可以得到一个基本的朱利亚分形了。

第三章“丰富的变化”进一步探索常数C的变化对于图像的影响。并将C由实数拓展到虚数和复数。

在我们完成分形的奥秘的探索之后，可以进入创作部分进行分形艺术的创作。

在创作部分，你可以对常数C的值进行调节，变化不同图形。右侧可以调节发散部分的颜色和对比度，帮助你完成多样化的创作。

用“分形的奥秘”创作的艺术作品最多可以放大20000倍，变换数值时不会卡顿，渲染做得很好。

我们看看用创作出来的各种分形作品吧！

作品创作完成之后，你可以分享到微博或微信。

此外，作者贴心地为不了解复数知识的使用者提供了基础知识和朱利亚的生平介绍，点击“更多-延伸阅读”进入。

这个程序是开源的，如果你对于这个程序感兴趣，可以在GitHub上下载这个程序的代码。如果你想学习，也可以使用Swift Playgrounds来绘制分形图形。（关于Swift Playgrounds，可以戳学堂君这篇文章）

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